线性代数配套练习题

1. 向量与矩阵的概念 【难度5】

练习1.1

下列哪个是 $3 \times 2$ 的矩阵？
A. $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6\end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix}1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6\end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix}1 \ 2 \ 3\end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}$

✅ 答案：B

2. 向量的运算 【难度6】

练习2.1

设 $\vec{a} = [3, -1, 4]$，$\vec{b} = [2, 5, 0]$，求 $\vec{a} + \vec{b}$

✅ 答案：$[5, 4, 4]$

练习2.2

计算以下向量的内积：$\vec{u} = [1, 2]$, $\vec{v} = [-1, 3]$

✅ 答案：$1×(-1) + 2×3 = 5$

3. 矩阵的初等变换 【难度6】

练习3.1

对矩阵
$\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$
进行以下初等行变换：$R_2 \gets R_2 - 3R_1$，结果为？

✅ 答案：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & -2 \end{bmatrix}$

练习3.2

将矩阵
$\begin{bmatrix} 0 & 1 \ 2 & 3 \end{bmatrix}$
变换为首元非零形式，应先进行哪种初等变换？

✅ 答案：交换 $R_1 \leftrightarrow R_2$

4. 矩阵的运算 【难度6】

练习4.1

设 $A = \begin{bmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix}5 & 6 \ 7 & 8\end{bmatrix}$
求 $A + B$ 和 $A - B$

✅ 答案：
$A + B = \begin{bmatrix}6 & 8 \ 10 & 12\end{bmatrix}$
$A - B = \begin{bmatrix}-4 & -4 \ -4 & -4\end{bmatrix}$

练习4.2

求 $AB$，其中
$A = \begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix}3 \ 4\end{bmatrix}$

✅ 答案：$AB = [11]$

5. 特殊矩阵的概念 【难度6】

练习5.1

下列矩阵中哪一个是单位矩阵？
A. $\begin{bmatrix}1 & 1 \ 1 & 1\end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix}1 & 0 \ 0 & 1\end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix}0 & 1 \ 1 & 0\end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix}2 & 0 \ 0 & 2\end{bmatrix}$

✅ 答案：B

练习5.2

判断以下矩阵是否为对称矩阵：
$A = \begin{bmatrix}2 & 3 \ 3 & 4\end{bmatrix}$

✅ 答案：是，因为 $A^T = A$

6. 高斯消元法 【难度7】

练习6.1（解线性方程组）

解下面的线性方程组：

$$ \begin{cases} x + y + z = 3 \ 2x + 3y + z = 8 \ x + 2y + 3z = 11 \end{cases} $$

提示：使用高斯消元法。

✅ 答案： - 增广矩阵： $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \ 2 & 3 & 1 & 8 \ 1 & 2 & 3 & 11 \end{bmatrix}$
- 消元 → 回代 → 解得： $x = 1$, $y = 1$, $z = 1$

练习6.2（无解或无穷解判定）

判断方程组是否有解，有多少个解：

$$ \begin{cases} x + y + z = 1 \ 2x + 2y + 2z = 2 \ 3x + 3y + 3z = 3 \end{cases} $$

✅ 答案：无穷多解，因三行线性相关。

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