### 1. 累加 (Summation)

表示将一系列数相加。

*   **符号**: `\sum`
*   **格式**: `\sum_{下标}^{上标} 表达式`
*   **例子**:
    *   从 `i=1` 加到 `n`: `\sum_{i=1}^{n} i` → $$\sum_{i=1}^{n} i$$
    *   从 `k=0` 加到 `m`: `\sum_{k=0}^{m} a_k` → $$\sum_{k=0}^{m} a_k$$
    *   满足条件 `p` 为素数且 `p ≤ n` 的所有素数之和: `\sum_{\substack{p \leq n \\ p \text{ prime}}} p` → $$\sum_{\substack{p \leq n \\ p \text{ prime}}} p$$

### 2. 累乘 (Product)

表示将一系列数相乘。

*   **符号**: `\prod`
*   **格式**: `\prod_{下标}^{上标} 表达式`
*   **例子**:
    *   从 `i=1` 乘到 `n`: `\prod_{i=1}^{n} i` → $$\prod_{i=1}^{n} i$$
    *   从 `j=2` 乘到 `k`: `\prod_{j=2}^{k} (1 + \frac{1}{j})` → $$\prod_{j=2}^{k} \left(1 + \frac{1}{j}\right)$$

### 3. 阶乘 (Factorial)

表示从 1 到 `n` 所有正整数的乘积。

*   **符号**: `!`
*   **格式**: `n!`
*   **定义**: `n! = \prod_{i=1}^{n} i = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n` (规定 `0! = 1`)
*   **例子**: `5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120`

### 4. 所有约数之和 (Sum of Divisors)

表示一个正整数 `n` 的所有正约数的总和。

*   **符号**: 常用 `\sigma(n)`
*   **定义**: $$\sigma(n) = \sum_{d | n} d$$
    *   其中 `d | n` 表示 `d` 整除 `n`，即 `d` 是 `n` 的约数。
*   **例子**: 
    *   `n = 6` 的约数是 `1, 2, 3, 6`，所以 `\sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12`。
    *   `n = 12` 的约数是 `1, 2, 3, 4, 6, 12`，所以 `\sigma(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28`。

### 5. 前缀和 (Prefix Sum)

表示序列前 `k` 项的累加和。常用于数组或序列处理。

*   **定义**: 对于一个序列 `a_1, a_2, ..., a_n`，其前缀和数组 `s` 定义为：
    $$s_k = \sum_{i=1}^{k} a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_k$$
    其中 `k = 1, 2, ..., n`。
*   **例子**: 
    *   序列: `a = [3, 1, 4, 1, 5]`
    *   前缀和: `s = [3, 4, 8, 9, 14]`
        *   `s_1 = 3`
        *   `s_2 = 3 + 1 = 4`
        *   `s_3 = 3 + 1 + 4 = 8`
        *   `s_4 = 3 + 1 + 4 + 1 = 9`
        *   `s_5 = 3 + 1 + 4 + 1 + 5 = 14`

### 6. 其他常见表示

*   **最大值**: `\max_{i=1}^{n} a_i` → $$\max_{i=1}^{n} a_i$$
*   **最小值**: `\min_{i=1}^{n} a_i` → $$\min_{i=1}^{n} a_i$$
*   **取整函数**:
    *   下取整 (Floor): `\lfloor x \rfloor` → $$\lfloor x \rfloor$$
    *   上取整 (Ceiling): `\lceil x \rceil` → $$\lceil x \rceil$$
*   **模运算**: `a \equiv b \pmod{m}` → $$a \equiv b \pmod{m}$$
*   **二项式系数**: `\binom{n}{k}` 或 `C_n^k` → $$\binom{n}{k}$$
*   **无穷大**: `\infty` → $$\infty$$
*   **存在**: `\exists` → $$\exists$$
*   **任意**: `\forall` → $$\forall$$
*   **因为**: `\because` → $$\because$$
*   **所以**: `\therefore` → $$\therefore$$

1. 累加 (Summation)

表示将一系列数相加。

符号: \sum
格式: \sum_{下标}^{上标} 表达式
例子:
- 从 i=1 加到 n: \sum_{i=1}^{n} i → $$\sum_{i=1}^{n} i$$
- 从 k=0 加到 m: \sum_{k=0}^{m} a_k → $$\sum_{k=0}^{m} a_k$$
- 满足条件 p 为素数且 p ≤ n 的所有素数之和: \sum_{\substack{p \leq n \\ p \text{ prime}}} p → $$\sum_{\substack{p \leq n \ p \text{ prime}}} p$$

2. 累乘 (Product)

表示将一系列数相乘。

符号: \prod
格式: \prod_{下标}^{上标} 表达式
例子:
- 从 i=1 乘到 n: \prod_{i=1}^{n} i → $$\prod_{i=1}^{n} i$$
- 从 j=2 乘到 k: \prod_{j=2}^{k} (1 + \frac{1}{j}) → $$\prod_{j=2}^{k} \left(1 + \frac{1}{j}\right)$$

3. 阶乘 (Factorial)

表示从 1 到 n 所有正整数的乘积。

符号: !
格式: n!
定义: n! = \prod_{i=1}^{n} i = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n (规定 0! = 1)
例子: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

4. 所有约数之和 (Sum of Divisors)

表示一个正整数 n 的所有正约数的总和。

符号: 常用 \sigma(n)
定义: $$\sigma(n) = \sum_{d | n} d$$
- 其中 d | n 表示 d 整除 n，即 d 是 n 的约数。
例子:
- n = 6 的约数是 1, 2, 3, 6，所以 \sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12。
- n = 12 的约数是 1, 2, 3, 4, 6, 12，所以 \sigma(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28。

5. 前缀和 (Prefix Sum)

表示序列前 k 项的累加和。常用于数组或序列处理。

定义: 对于一个序列 a_1, a_2, ..., a_n，其前缀和数组 s 定义为： $$s_k = \sum_{i=1}^{k} a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_k$$ 其中 k = 1, 2, ..., n。
例子:
- 序列: a = [3, 1, 4, 1, 5]
- 前缀和: s = [3, 4, 8, 9, 14]
  - s_1 = 3
  - s_2 = 3 + 1 = 4
  - s_3 = 3 + 1 + 4 = 8
  - s_4 = 3 + 1 + 4 + 1 = 9
  - s_5 = 3 + 1 + 4 + 1 + 5 = 14

6. 其他常见表示

最大值: \max_{i=1}^{n} a_i → $$\max_{i=1}^{n} a_i$$
最小值: \min_{i=1}^{n} a_i → $$\min_{i=1}^{n} a_i$$
取整函数:
- 下取整 (Floor): \lfloor x \rfloor → $$\lfloor x \rfloor$$
- 上取整 (Ceiling): \lceil x \rceil → $$\lceil x \rceil$$
模运算: a \equiv b \pmod{m} → $$a \equiv b \pmod{m}$$
二项式系数: \binom{n}{k} 或 C_n^k → $$\binom{n}{k}$$
无穷大: \infty → $$\infty$$
存在: \exists → $$\exists$$
任意: \forall → $$\forall$$
因为: \because → $$\because$$
所以: \therefore → $$\therefore$$

—— 本文来自火龙信奥（义乌睿码科技）：义乌青少年信息学奥赛与编程教育平台，专注 CSP-J/S、NOIP、GESP 竞赛培训，线上线下融合教学，助力编程升学。网址：hlcoding.com