初中数学题目（加入对战）

作者： 作者的头像   huolong , 时间：2026-07-11 10:14:18 , 所有人可见, 阅读  25

  1. Day01 - 初等数论 - 作业1

## 一、填空题

  1. 在自然数中，______ 既不是质数也不是合数，在偶数中，______ 是质数。

  2. 在自然数中，既是奇数又是质数的最小的数是 ______，既是一位数奇数又是合数的是 ______。

  3. $10\sim 20$ 之间的质数有 ____________，其中 ______ 个位上的数字与十位上的数字交换位置后，仍是一个质数。

  4. 一个合数至少有 ______ 个约数。

  5. 在1、2、4、10、11这几个数中（每个数只填一次），______ 是整数，______ 是奇数，______ 是偶数，______ 是质数，______ 是合数。

## 二、判断题

  1. 能被2整除的数都不是质数。（ ）
  2. 在自然中，除2以外，所有的偶数都是合数。（ ）
  3. 边长是质数的正方形，它的周长一定是合数。（ ）
  4. 自然数中只有质数和合数。（ ）
  5. 所有合数都是偶数。（ ）

## 三、计算题

  1. 求下面每组数的最大公约数 $$ (600,375) = _ (144,108) = _ (1155,1080) = _ (2436,5428) = _ (3615,7911) = _$$

  2. 求下面每组数的最小公倍数 $$ [600,375] = _ [144,108] = _ [1155,1080] = _ [2436,5428] = _ [3615,7911] = _ $$

  3. 已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。

  4. 有三根绳子，一根42米、一根175米、一根63米，要把它们截成同样的小段没有剩余，每段最长是几米？

  5. 五年级分组比赛，分成5人一组、6人一组、15人一组都能分，而且没有剩余的人，这个班最少有多少人？

# Day02 - 初等数论 - 作业2

## 一、求以下合数的标准分解式（分解质因数）

  • 12 = ______
  • 56 = ______
  • 945 = ______
  • 1024 = ______
  • 2940 = ______

## 二、判断以下式子是否正确（即是否同余）

  • $29 \equiv 2 \pmod{9}$ （ ）
  • $257 \equiv 16 \pmod{32}$ （ ）
  • $93 \not\equiv -7 \pmod{50}$ （ ）
  • $161 \not\equiv 0 \pmod{8}$ （ ）
  • $1380 \not\equiv 24 \pmod{5}$ （ ）

## 三、计算题

  1. 今天是星期一，再过100天是星期几？

  2. 如果98和66除以同一个数都余2，求这个数是多少？

  3. 如果82，98和66除以同一个数都余2，求这个数是多少？

  4. 如果87，52和31除以 $A(A > 1)$ 的余数相同，请问 $A$ 的值是多少？

  5. 如果101和80除以同一个大于1的数，余数相同，求这个数是多少？

  6. 如果141，239除以同一个大于1的数，余数分别为 $a$ 和 $a + 18$，求这个数是多少？

# Day03 - 初等数论 - 作业3

## 一、求以下表达式的余数

  • $(139 + 235) \div 9$ 的余数
  • $(139 \times 235) \div 9$ 的余数
  • $(1992 \times 59) \div 9$ 的余数
  • $(123 \times 235 + 233 \times 875) \div 9$ 的余数
  • $144^{1001} \div 13$ 的余数

## 二、应用题

  • 已知2022年的国庆节是星期六，求2023年的国庆节是星期几？

  • 有一个整数，除以39，51，147所得的余数都是3，求这个数？

  • 小武老师给同学们发糖果，如果每个人发15颗糖还差4颗，如果每人发18颗糖还差4颗，如果每人发12颗糖还差4颗。问小武老师至少拿了多少颗糖发给同学们？

  • 一个大于200的自然数除以9余3，除以7余5，除以11余1。这个自然数最小是多少？

  • 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是 $a + 5$、$2a$、$a$。求这个自然数与 $a$ 的值？

## 三、简答题

  1. 请回答什么是质数筛？
  2. 请问埃氏筛法和欧拉筛有什么相同点和不同点？

# Day04 - 函数（上）作业

## 一、选择题

  1. 直线 $y = -2x + 4$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16

  2. 若 $y = 2x + 2 - 3b$ 是正比例函数，则 $b$ 的值是（ ） A. 0 B. $\frac{2}{3}$ C. $-\frac{2}{3}$ D. $-\frac{3}{2}$

  3. 下面是一次函数的是（ ） A. $y = 2x^{2} + 7$ B. $y = \frac{2}{x}$ C. $y = \frac{x}{2}$ D. $xy = 1$

  4. 一次函数的图像与直线 $y = -x + 1$ 平行，且经过 $(8, 2)$，此一次函数的解析式为（ ） A. $y = 2x - 14$ B. $y = -x - 6$ C. $y = -x + 10$ D. $y = 4x$

  5. 函数 $y = (k - 1)x$，$y$ 随 $x$ 增大而减小，则 $k$ 的范围是（ ） A. $k < 0$ B. $k > 1$ C. $k \leq 1$ D. $k < 1$

## 二、填空题

  1. 若关于 $x$ 的函数 $y = (n + 1)x^{m - 1}$ 是一次函数则 $m =$ ______，$n =$ ______。

  2. 把函数 $y = \frac{x}{3}$ 的图像向 ______ 平移 ______ 个单位得到函数 $y = \frac{x - 6}{3}$。

  3. 直线 $y = 2x + b$ 经过点 $(1,3)$，则 $b =$ ______。

  4. 若一次函数 $y = mx - (m - 2)$ 经过点 $(0,3)$，则 $m =$ ______。

  5. 若直线 $y = kx + b$ 平行直线 $y = 5x + 3$，且经过点 $(2, -1)$，则 $k =$ ______，$b =$ ______。

## 三、计算题

  1. 如果一条直线经过A(1,3)和B(2,1)这两个点，那么该一次函数的表达式是什么？

  2. 如果一条直线经过A(-1,-3)和B(1,3)这两个点，那么该一次函数的表达式是什么？

  3. 已知直线 $y = -\frac{2}{3}x + 3$ 与 $y = 2x - 1$，求它们与 $y$ 轴所围成的三角形的面积。

# Day05 - 函数（下）作业

## 一、填空题

  1. 若函数 $y = (a + 1)x^{|a| + 1}$ 是二次函数，则 $a =$ ______

  2. 若将二次函数 $y = x^{2} - 2x + 3$ 变成（配方） $y = (x - h)^{2} + k$ 的形式，则 $h =$ ______，$k =$ ______

  3. 抛物线 $y = x^{2} - 2x - 3$ 与 $x$ 轴分别交于A、B两点，则AB的长度为 ______

  4. 把抛物线 $y = 2x^{2} + x + 1$ 的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的抛物线的函数解析式是：________________

  5. 假设 $a > 0$ 且 $a^{x} = 3, a^{y} = 5$，则 $a^{2x + y} =$ ______

  6. 若 $m = \log_{2}10 - \log_{2}3$，则 $2^{m}$ 的值是 ______

  7. 如果点 $(-1,1)$ 在 $y = ax^{2} + 2$ 上，则 $a =$ ______

  8. $\log_{2}12 - \log_{2}3 =$ ______

  9. 81的平方根是 ______，四次方根是 ______

  10. $25^{\frac{1}{3}} =$ ______，$8^{\frac{1}{3}} =$ ______，$\sqrt{(3 - \pi)^{2}} =$ ______

## 三、计算题

  1. 用对数形式表示下列各式中的 $x$ $10^{x} = 25 \quad x =$ ______ $2^{x} = 12 \quad x =$ ______ $4^{x} = 1 / 6 \quad x =$ ______

  2. 请比较 $a = \log_{0.5}3, b = 0.5^{3}, c = (\frac{1}{3})^{-0.5}$ 的大小。（可以利用desmos观察）

  3. 已知抛物线 $y = ax^{2} + bx + c$ 经过 $A(-1,8), B(3,0), C(0,3)$ 三点。

    • （1）求抛物线的表达式
    • （2）写出该抛物线的顶点坐标

  4. 有以下四个函数分别是：$y_{1} = x, y_{2} = x^{2}, y_{3} = \log_{2}x, y_{4} = 2^{x}, y_{5} = x\log_{2}x$

    • （1）请计算当 $x = 2, 6, 10$ 的时候，他们的值分别是多少？
    • （2）如果 $x$ 的值为 10000000 时，请比较 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}, y_{5}$ 的值的大小？

## 四、绘图题

  1. 请画出二次函数 $y = 2(x - 3)^2 + 1$ 的函数图像
    （提示：可通过描点法画出，包含列表-描点-连线三个步骤）

  2. 请在同一个坐标系内画出 $y = x, y = x^{2} - 4, y = 2^{x}, y = \log_{2}x$ 的图像。
    （提示：可通过描点法画出，包含列表-描点-连线三个步骤）

# Day06 - 加课 - 函数总结 - 作业

## 一、填空题

  1. 若函数 $y = (a - 1)x^{|a + 1|}$ 是二次函数，则 $a =$ ______

  2. 若将二次函数 $y = 2x^{2} - 4x + 7$ 变成（配方） $y = a(x + h)^{2} + k$ 的形式，则 $a =$ ______，$h =$ ______，$k =$ ______

  3. 抛物线 $y = x^{2} - 2x - 3$ 与 $x$ 轴分别交于A、B两点，与 $y$ 轴交于C点，则三角形ABC的面积为 ______

  4. 把抛物线 $y = 2x^{2} - 4x + 7$ 的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的抛物线的函数解析式是：________________

  5. 假设 $x > 0$ 且 $x^{2a + b} = 175$，$x^{b} = 7$，则 $x^{a} =$ ______

  6. 若 $m = \log_{2}25 - \log_{2}5$，则 $2^{m}$ 的值是 ______

  7. 如果点 $(-1, -1)$，$(1, 7)$ 在 $y = a(x + 2)^{2} + c$ 上，则 $a =$ ______，$c =$ ______

  8. $\log_{2}24 - \log_{2}3 =$ ______

  9. $81^{\frac{1}{2}} =$ ______，$27^{\frac{1}{3}} =$ ______，$\sqrt{(e - 3)^{2}} =$ ______

  10. $\frac{\log_{10}16}{\log_{10}2} =$ ______，$\frac{\log_{9}16}{\log_{9}2} =$ ______

## 二、计算题

  1. 已知 $a = 5^{3}$、$b = 2^{7}$、$c = 5^{13}$、$d = 2^{31}$

    • 请问 $a$、$b$ 的大小关系
    • 请问 $c$、$d$ 的大小关系

  2. 已知抛物线 $y = ax^{2} + bx + c$ 经过 $A(-2,0)$，$B(\frac{1}{2},0)$，$C(0, -2)$ 三点。

    • 求抛物线的表达式。
    • 写出该抛物线的顶点坐标。

  3. 有以下四个函数分别是：$y_{1} = x$，$y_{2} = x^{2}$，$y_{3} = \log_{2}x$，$y_{4} = 2^{x}$，$y_{5} = x\log_{2}x$

    • （1）请计算当 $x = 3, 9, 18$ 的时候，他们的值分别是多少？
    • （2）如果 $x$ 的值为21亿时，请比较 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}, y_{5}$ 的值的大小？

## 三、绘图题

  1. 请画出二次函数 $y = 2x^{2}$ 及 $y = 2(x + 1)^{2} - 1$ 的函数图像
    （提示：$y = 2(x + 1)^{2} - 1$ 的函数图像可通过移动函数 $y = 2x^{2}$ 的图像画出）

  2. 请在同一个坐标系内画出 $y = 2x$，$y = 2x^{2} - 4$，$y = 2^{x}$，$y = \log_{2}x$ 的图像，并标出交点及写上交点坐标。

# Day07 - 矩阵基础 - 作业

## 一、填空题

  1. 设 $A = \left[ \begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \ 1 & 1 & -1 \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \ -1 & -2 & 4 \end{array} \right]$ 则 $A + 2B = \left[ \begin{array}{ccc} \hspace{1cm} & \hspace{1cm} & \hspace{1cm} \ \hspace{1cm} & \hspace{1cm} & \hspace{1cm} \end{array} \right]$

  2. 设 $A = \left[ \begin{array}{ccc}1 & -1 & 3 \ 2 & 0 & 1 \end{array} \right]$ 则 $A^T = \left[ \begin{array}{ccc} \hspace{1cm} & \hspace{1cm} \ \hspace{1cm} & \hspace{1cm} \ \hspace{1cm} & \hspace{1cm} \end{array} \right]$ 若 $B = \left[ \begin{array}{ccc}2 & 0 \ 0 & 1 \end{array} \right]$ 则 $A^T B = \left[ \begin{array}{ccc} \hspace{1cm} & \hspace{1cm} \ \hspace{1cm} & \hspace{1cm} \ \hspace{1cm} & \hspace{1cm} \end{array} \right]$

  3. 设 $A = \left[ \begin{array}{cc}2 & -1 \ -1 & 1 \end{array} \right]$ 则 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} \hspace{1cm} & \hspace{1cm} \ \hspace{1cm} & \hspace{1cm} \end{array} \right]$

  4. 设 $A = \left[ \begin{array}{cc}2 & -1 \ -1 & 0 \ -1 & 1 \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \ -1 & 0 & -1 \end{array} \right]$ 则 $AB = \left[ \begin{array}{ccc} \hspace{1cm} & \hspace{1cm} & \hspace{1cm} \ \hspace{1cm} & \hspace{1cm} & \hspace{1cm} \ \hspace{1cm} & \hspace{1cm} & \hspace{1cm} \end{array} \right]$

  5. 设 $A = \left[ \begin{array}{ccc}a & b & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & c \end{array} \right]$ 是一个单位矩阵，则 $a =$ ______，$b =$ ______，$c =$ ______

## 二、计算题

  1. 设 $A = \left[ \begin{array}{ccc}2 & 3 & 4 \ 1 & 0 & 2 \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{ccc} -2 & 1 & -1 \ 3 & 0 & 3 \end{array} \right]$ 求 $(A - B)^T$

  2. 设 $A = \left[ \begin{array}{cc}2 & -1 \ -1 & 0 \ -1 & 1 \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \ -1 & 0 & -1 \end{array} \right]$ 求 $AB$ 和 $BA$ 分别是多少？

  3. 设 $A = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \ -1 & 0 \end{array} \right]$ 求 $A^T$ 和 $A^{-1}$

  4. 设 $A = \left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 \end{array} \right]$，求 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$

  5. 请写出杨辉三角的前9行及递推公式（用二维矩阵表示）

# Day08 - 数的进制及转换 - 作业

## 一、将以下N进制数转换成10进制

（转换方法：数码乘以权值再求和）

  • $1101_2 \rightarrow$ ______
  • $110101.101_2 \rightarrow$ ______
  • $1023_4 \rightarrow$ ______
  • $1AF_{16} \rightarrow$ ______
  • $1001_8 \rightarrow$ ______

## 二、将以下二进制与16进制相互转换

（二进制数转换成十六进制数的方法是以小数点为准，往前、往后“四位一段”分别转换成十六进制数，不满四位要补齐。）

  • $1011011101_2 \rightarrow$ ______
  • $1110001111.101001_2 \rightarrow$ ______
  • $BCDE_{16} \rightarrow$ ______（转二进制）
  • $(-AF01.4D)_{16} \rightarrow$ ______（转二进制）

## 三、将以下十进制转二进制

（方法一：8421法；方法二：短除法。备注：最后一题29.75必须用短除法计算，并写出短除法过程）

  • 将下列十进制数转为二进制（题目未明确列出具体数字，请根据原卷补充，此处留空）
  • （注：原卷只写了“将以下十进制转二进制”及备注，未给具体数值，请自行对照原卷补充）

# Day09 - 计数原理与排列组合（上）作业

## 一、计算题（每题5分）

$C_8^3 =$ ______ $A_8^3 =$ ______ $C_{10}^5 =$ ______ $A_{10}^5 =$ ______ $C_7^5 =$ ______ $A_7^5 =$ ______

## 二、填空题（每题5分）

  1. A到B有4条路，B到C有5条路，A到C必须经过B，那么A到C有 ______ 条路。

  2. A到B有4条路，B到C有5条路，C到D有3条路，A到C必须经过B，B到D必须经过C，那么A到D有 ______ 条路。

  3. 每个格子都能放0、1、2三种数，那么4个小方格能组成的数共有 ______ 个。

  4. 每个格子都能放0、1两种数，那么给55个同学一个唯一的编号，至少要 ______ 个格子。

  5. 有编号分别为1、2、3、4的4个小球，放到4个格子里，有 ______ 种放法。

  6. 一个抽奖箱里有100个号码，抽两个号码获得一等奖，那么结果有 ______ 种情况。

## 三、计算题（每题8分）

  1. 七个人站成一排，如果甲乙两个人必须不相邻，有多少种不同的排法？

  2. 七个人站成一排，如果甲乙必须相邻且甲在乙的右边，有多少种不同的排法？

  3. 十个三好学生名额分配到七个班级，每个班级至少有一个名额，有多少种的分配方案？

  4. 一名老师和四名同学站成一排拍照留念，若老师不站两端，则有多少种排法？

  5. 将编号为1、2、3、4、5的五个小球放到编号为1、2、3、4、5的盒子里，每个盒子放一个，恰好两个球的编号与盒子编号相同的情况有多少种？

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答案与解析（全部作业）

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Day01 答案与解析

一、填空题

  1. 1，2
    （1既不是质数也不是合数；2是唯一的偶质数。）

  2. 3，9
    （3是最小的奇质数；9是一位数中唯一的奇数合数。）

  3. 11，13，17，19；3个（11、13、17）
    （10~20的质数有11、13、17、19。交换后：11→11（质数），13→31（质数），17→71（质数），19→91=7×13（合数），所以共3个。）

  4. 3
    （合数至少有1、本身和另一个约数，例如4的约数为1、2、4，共3个。）

  5. 1、2、4、10、11；1、11；2、4、10；2、11；4、10
    （整数包括所有；奇数看个位；质数只有2和11；合数4和10。）

二、判断题

  1. ×（例如2能被2整除，但2是质数）
  2. √（除2外，所有偶数都有约数1、2和本身，是合数）
  3. √（周长=4×边长，至少有约数4，是合数）
  4. ×（自然数还包括0和1）
  5. ×（如9是合数但不是偶数）

三、计算题

  1. 最大公约数
  2. (600,375) = 75（600=2³×3×5²，375=3×5³，取3×5²=75）
  3. (144,108) = 36（144=2⁴×3²，108=2²×3³，取2²×3²=36）
  4. (1155,1080) = 15（1155=3×5×7×11，1080=2³×3³×5，取3×5=15）
  5. (2436,5428) = 4（2436=2²×3×7×29，5428=2²×23×59，取2²=4）

  6. (3615,7911) = 3（3615=3×5×241，7911=3³×293，取3）

  7. 最小公倍数

  8. [600,375] = 3000（600×375÷75=3000）
  9. [144,108] = 432（144×108÷36=432）
  10. [1155,1080] = 83160（1155×1080÷15=83160）
  11. [2436,5428] = 3305652（2436×5428÷4=3305652）

  12. [3615,7911] = 9532755（3615×7911÷3=9532755）

  13. 此数为28
    解析：两数之积 = 最大公约数 × 最小公倍数。
    设某数为 $x$，则 $x \times 24 = 4 \times 168 = 672$，$x = 672 \div 24 = 28$。

  14. 每段最长7米
    解析：求42、175、63的最大公约数。
    $42=2×3×7$，$175=5²×7$，$63=3²×7$，最大公约数为7。

  15. 这个班最少30人
    解析：求5、6、15的最小公倍数。
    $[5,6,15]=30$。

Day02 答案与解析

一、标准分解式

  • 12 = $2^2 \times 3$
  • 56 = $2^3 \times 7$
  • 945 = $3^3 \times 5 \times 7$（945÷3=315，÷3=105，÷3=35，故为3³×5×7）
  • 1024 = $2^{10}$
  • 2940 = $2^2 \times 3 \times 5 \times 7^2$（2940÷4=735，735=3×5×7²）

二、同余判断

  • $29 \equiv 2 \pmod{9}$：√（29-2=27能被9整除）
  • $257 \equiv 16 \pmod{32}$：×（257-16=241不能被32整除）
  • $93 \not\equiv -7 \pmod{50}$：×（93-(-7)=100能被50整除，它们是同余的，所以“不等”是错的）
  • $161 \not\equiv 0 \pmod{8}$：√（161-0=161不能被8整除，确实不同余）
  • $1380 \not\equiv 24 \pmod{5}$：√（1380÷5余0，24÷5余4，不同余）

三、计算题

  1. 星期三
    解析：100 ÷ 7 余 2，星期一往后推2天是星期三。

  2. 这个数可以是 4、8、16、32（最大为32）
    解析：98和66除以该数余2，说明该数能整除98-2=96和66-2=64。
    $(96,64)=32$，32的约数中大于2的有4、8、16、32。若问“这个数”通常取最大公约数32。

  3. 最大为16（也可以是2、4、8，但除数必须大于2）
    解析：82-2=80，98-2=96，66-2=64。
    $(80,96,64)=16$，大于2的约数有4、8、16，最大为16。

  4. $A=7$
    解析：余数相同，则 $A$ 能整除任意两数的差。
    $87-52=35$，$52-31=21$，$87-31=56$。
    $(35,21,56)=7$，且 $A>1$，所以 $A=7$。

  5. 这个数可以是 3、7、21
    解析：余数相同，则除数能整除101-80=21。
    21的大于1的约数有3、7、21。

  6. 这个数可以是 20、40、80
    解析：设除数为 $d$。
    $239 - 141 = 98 = k \cdot d + 18$（因为余数相差18），所以 $k \cdot d = 80$。
    $d$ 是80的约数，且 $d > 18$（因为余数 $a+18 < d$）。
    80的大于18的约数有20、40、80。检验都成立，所以答案为20、40、80。

Day03 答案与解析

一、求余数

  1. 5
    $139+235=374$，$374 \div 9 = 41 \text{ 余 } 5$。

  2. 4
    $139 \bmod 9 = 4$，$235 \bmod 9 = 1$，$4 \times 1 = 4$。

  3. 6
    $1992 \bmod 9 = 3$（数字和21→3），$59 \bmod 9 = 5$，$3 \times 5 = 15 \rightarrow 15 \bmod 9 = 6$。

  4. 4
    $123 \bmod 9 = 6$，$235 \bmod 9 = 1$，则第一项余6；
    $233 \bmod 9 = 8$，$875 \bmod 9 = 2$，则第二项余 $8 \times 2 = 16 \rightarrow 7$；
    总和余 $6+7=13 \rightarrow 4$。

  5. 1
    $144 \bmod 13 = 1$（$13 \times 11 = 143$），$1^{1001} = 1$。

二、应用题

  1. 星期日
    解析：2022年到2023年共365天，$365 \bmod 7 = 1$。星期六往后推1天为星期日。

  2. 最小为 32490（形如 $32487k + 3$，$k$ 为正整数）
    解析：该数减去3是39、51、147的公倍数。
    $[39,51,147] = 3 \times 13 \times 17 \times 49 = 32487$。
    最小的数（大于3）是 $32487 + 3 = 32490$。

  3. 176颗
    解析：糖果数加4后能被15、18、12整除。
    $[15,18,12]=180$，所以糖果数 $=180-4=176$。

  4. 705
    解析：先找满足前两个条件的数。
    $N \equiv 3 \pmod{9}$，$N \equiv 5 \pmod{7}$。
    易得 $N=12$ 满足（$12 \bmod 9=3$，$12 \bmod 7=5$）。
    所以 $N = 12 + 63t$（$63=[9,7]$）。
    再满足 $N \equiv 1 \pmod{11}$：
    $12 + 63t \equiv 1 \pmod{11}$，$12 \equiv 1$，$63 \equiv 8$，
    $1 + 8t \equiv 1 \Rightarrow 8t \equiv 0 \Rightarrow t \equiv 0 \pmod{11}$。
    最小 $t=11$，$N=12+63 \times 11 = 705$。

  5. 这个自然数为 19，$a=6$
    解析：设除数为 $n$。
    由 $500 \equiv a \pmod{n}$，$429 \equiv a+5 \pmod{n}$，
    相减得 $500-429=71 \equiv -5 \pmod{n}$，即 $76 \equiv 0 \pmod{n}$，所以 $n$ 整除76。
    由 $791 \equiv 2a \pmod{n}$，$500 \equiv a \pmod{n}$，
    相减得 $791-2 \times 500 = -209 \equiv 0 \pmod{n}$，所以 $n$ 整除209。
    $(76,209) = 19$（$76=4\times19$，$209=11\times19$），所以 $n=19$。
    则 $a \equiv 500 \bmod 19 = 6$（$19 \times 26 = 494$，余6）。
    验证：429÷19余11（6+5），791÷19余12（2×6），正确。

三、简答题

  1. 质数筛：一种用于筛选出一定范围内所有质数的算法。其核心思想是从小到大枚举数，将质数的倍数标记为合数，未被标记的即为质数。

  2. 相同点：

  3. 都是为了高效找出一定范围内的所有质数。
  4. 基本思想都是标记合数，留下质数。
    不同点：
  5. 埃氏筛法（埃拉托斯特尼筛法）会重复标记合数（如6会被2和3各标记一次），时间复杂度 $O(n \log \log n)$。
  6. 欧拉筛（线性筛）保证每个合数只被其最小质因子标记一次，时间复杂度 $O(n)$，效率更高。

Day04 答案与解析

一、选择题

  1. A
    与x轴交点令y=0得x=2，与y轴交点令x=0得y=4，面积 $= \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$。

  2. B
    正比例函数常数项为0：$2 - 3b = 0 \Rightarrow b = \frac{2}{3}$。

  3. C
    A是二次，B是反比例，D是反比例变形（$y=1/x$），只有C（$y=x/2$）是一次函数。

  4. C
    与 $y=-x+1$ 平行，斜率 $k=-1$。设 $y=-x+b$，代入(8,2)：
    $2 = -8 + b \Rightarrow b=10$，所以 $y=-x+10$。

  5. D
    $y$ 随 $x$ 增大而减小，则斜率 $k-1 < 0 \Rightarrow k < 1$。

二、填空题

  1. $m=2$，$n \neq -1$
    一次函数要求指数为1：$m-1=1 \Rightarrow m=2$；系数不能为0：$n+1 \neq 0 \Rightarrow n \neq -1$。

  2. 向下，2
    $y = \frac{x-6}{3} = \frac{x}{3} - 2$，是 $y=\frac{x}{3}$ 向下平移2个单位。

  3. $b=1$
    $3 = 2 \times 1 + b \Rightarrow b=1$。

  4. $m=-1$
    代入(0,3)：$3 = m \times 0 - (m-2) \Rightarrow 3 = -m + 2 \Rightarrow m=-1$。

  5. $k=5$，$b=-11$
    平行则 $k=5$。代入(2,-1)：$-1 = 5 \times 2 + b \Rightarrow b=-11$。

三、计算题

  1. $y = -2x + 5$
    斜率 $k = \frac{1-3}{2-1} = -2$，
    代入A(1,3)：$3 = -2 \times 1 + b \Rightarrow b=5$。

  2. $y = 3x$
    斜率 $k = \frac{3-(-3)}{1-(-1)} = \frac{6}{2} = 3$，
    代入B(1,3)：$3 = 3 \times 1 + b \Rightarrow b=0$。

  3. 面积为 3
    两直线与y轴交点分别为(0,3)和(0,-1)，底边长为4。
    求交点：$-\frac{2}{3}x + 3 = 2x - 1 \Rightarrow 4 = \frac{8}{3}x \Rightarrow x = \frac{3}{2}$，y=2。
    三角形面积 $= \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{3}{2} = 3$。

Day05 答案与解析

一、填空题

  1. $a=1$
    二次函数要求指数为2：$|a|+1=2 \Rightarrow |a|=1 \Rightarrow a=\pm1$，且系数不为0：$a+1 \neq 0 \Rightarrow a \neq -1$，所以 $a=1$。

  2. $h=1$，$k=2$
    $y = (x-1)^2 + 2$，所以 $h=1, k=2$。

  3. 4
    $x^2-2x-3=0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0$，与x轴交于3和-1，距离为4。

  4. $y = 2x^2 + 9x + 14$
    原函数左移2：$y=2(x+2)^2 + (x+2) + 1 = 2x^2 + 9x + 11$。
    再上移3：$y=2x^2 + 9x + 14$。

  5. 45
    $a^{2x+y} = (a^x)^2 \cdot a^y = 3^2 \times 5 = 45$。

  6. $\frac{10}{3}$
    $m = \log_2 \frac{10}{3}$，则 $2^m = \frac{10}{3}$。

  7. $a=-1$
    代入(-1,1)：$1 = a \times 1 + 2 \Rightarrow a=-1$。

  8. 2
    $\log_2 12 - \log_2 3 = \log_2 4 = 2$。

  9. 平方根 ±9，四次方根 ±3
    $81$ 的平方根为 ±9，四次方根为 ±3（因为 $3^4=81$）。

  10. $\sqrt[3]{25}$，2，$\pi - 3$
    $25^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{25}$，$8^{\frac{1}{3}} = 2$，$\sqrt{(3-\pi)^2} = |3-\pi| = \pi - 3$（因为π≈3.14>3）。

三、计算题

  1. $x = \log_{10} 25$；$x = \log_2 12$；$x = \log_4 \frac{1}{6} = -\log_4 6$
    （根据对数定义直接写出。）

  2. $a < b < c$
    $a = \log_{0.5} 3 < 0$（底数小于1，真数大于1，对数为负），
    $b = 0.5^3 = 0.125 > 0$，
    $c = (\frac{1}{3})^{-0.5} = 3^{0.5} = \sqrt{3} \approx 1.732$。
    所以 $a < b < c$。

  3. （1）$y = -x^2 + 4x + 3$；（2）顶点 (2, 7)
    解析：代入C得 $c=3$。
    代入A(-1,8)：$a - b + 3 = 8 \Rightarrow a - b = 5$。
    代入B(3,0)：$9a + 3b + 3 = 0 \Rightarrow 3a + b = -1$。
    解得 $a=-1, b=4$。所以 $y = -x^2 + 4x + 3 = -(x-2)^2 + 7$，顶点 (2,7)。

  4. （1）当 x=2：$y_1=2, y_2=4, y_3=1, y_4=4, y_5=2$；
    当 x=6：$y_1=6, y_2=36, y_3≈2.58, y_4=64, y_5≈15.51$；
    当 x=10：$y_1=10, y_2=100, y_3≈3.32, y_4=1024, y_5≈33.22$。
    （2）当 x=10^7 时，大小关系为：
    $y_4 > y_2 > y_5 > y_1 > y_3$。
    解析：$y_4=2^x$ 指数爆炸增长最快；$y_2=x^2$ 次之；$y_5=x\log_2 x$ 比 $y_1=x$ 多一个对数因子；$y_3=\log_2 x$ 增长最慢。

Day06 答案与解析

一、填空题

  1. $a=-3$
    二次函数指数为2：$|a+1|=2 \Rightarrow a+1=\pm2 \Rightarrow a=1$ 或 $a=-3$。
    系数不为0：$a-1 \neq 0 \Rightarrow a \neq 1$，所以 $a=-3$。

  2. $a=2$，$h=-1$，$k=5$
    $y = 2(x^2 - 2x) + 7 = 2(x-1)^2 + 5 = 2(x+(-1))^2 + 5$，所以 $h=-1, k=5$。

  3. 6
    与x轴交点：$x^2-2x-3=0 \Rightarrow x=3, -1$，AB=4。
    与y轴交点：$x=0 \Rightarrow y=-3$，高为3。
    面积 $= \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$。

  4. $y = 2x^2 + 4x + 10$
    $y=2x^2-4x+7 = 2(x-1)^2+5$。
    左移2：$y=2(x+1)^2+5$；上移3：$y=2(x+1)^2+8 = 2x^2+4x+10$。

  5. 5
    $x^{2a+b} \div x^b = x^{2a} = 175 \div 7 = 25$。
    因为 $x>0$，所以 $x^a = \sqrt{25} = 5$。

  6. 5
    $m = \log_2 25 - \log_2 5 = \log_2 5$，则 $2^m = 5$。

  7. $a=1$，$c=-2$
    代入(-1,-1)：$-1 = a(1)^2 + c \Rightarrow a + c = -1$。
    代入(1,7)：$7 = a(3)^2 + c \Rightarrow 9a + c = 7$。
    相减得 $8a = 8 \Rightarrow a=1, c=-2$。

  8. 3
    $\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 8 = 3$。

  9. 9，3，$3-e$
    $81^{1/2}=9$，$27^{1/3}=3$，$\sqrt{(e-3)^2}=|e-3|=3-e$（因为e≈2.718<3）。

  10. 4，4
    $\frac{\log_{10}16}{\log_{10}2} = \log_2 16 = 4$。
    $\frac{\log_9 16}{\log_9 2} = \log_2 16 = 4$。

二、计算题

  1. $a < b$；$c < d$
    $a=5^3=125$，$b=2^7=128$，所以 $a<b$。
    $c=5^{13}=1220703125$，$d=2^{31}=2147483648$，所以 $c<d$。

  2. （1）$y = 2x^2 + 3x - 2$；（2）顶点 $\left(-\frac{3}{4}, -\frac{25}{8}\right)$
    设 $y = a(x+2)(x-\frac{1}{2})$。代入C(0,-2)：
    $-2 = a \times 2 \times (-\frac{1}{2}) = -a \Rightarrow a=2$。
    展开：$y = 2(x+2)(x-\frac{1}{2}) = 2(x^2 + \frac{3}{2}x - 1) = 2x^2 + 3x - 2$。
    顶点横坐标 $x = -\frac{3}{2 \times 2} = -\frac{3}{4}$，
    纵坐标 $y = 2 \times \frac{9}{16} + 3 \times (-\frac{3}{4}) - 2 = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} - 2 = -\frac{25}{8}$。

  3. （1）当 x=3：$y_1=3, y_2=9, y_3≈1.585, y_4=8, y_5≈4.755$；
    当 x=9：$y_1=9, y_2=81, y_3≈3.170, y_4=512, y_5≈28.53$；
    当 x=18：$y_1=18, y_2=324, y_3≈4.170, y_4=262144, y_5≈75.06$。
    （2）x=21亿时：$y_4 > y_2 > y_5 > y_1 > y_3$。
    解析：指数函数爆炸增长，二次函数次之，$y_5=x\log_2x$ 比一次函数多一个对数因子，对数增长最慢。

Day07 答案与解析

一、填空题

  1. $\left[ \begin{array}{ccc}3 & 3 & 7 \ -1 & -3 & 7 \end{array} \right]$
    $2B = \left[ \begin{array}{ccc}2 & 4 & 6 \ -2 & -4 & 8 \end{array} \right]$，相加得结果。

  2. $A^T = \left[ \begin{array}{cc}1 & 2 \ -1 & 0 \ 3 & 1 \end{array} \right]$，$A^T B = \left[ \begin{array}{cc}2 & 2 \ -2 & 0 \ 6 & 1 \end{array} \right]$
    矩阵乘法：第一行第一列 $1×2+2×0=2$；第一行第二列 $1×0+2×1=2$；以此类推。

  3. $A^{-1} = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \ 1 & 2 \end{array} \right]$
    $\det=2×1 - (-1)×(-1)=1$，逆矩阵为 $\frac{1}{1}\left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \ 1 & 2 \end{array} \right]$。

  4. $AB = \left[ \begin{array}{ccc}5 & -2 & 1 \ -2 & 1 & 0 \ -3 & 1 & -1 \end{array} \right]$
    计算：第一行第一列 $2×2 + (-1)×(-1)=5$；第一行第二列 $2×(-1)+(-1)×0=-2$；第一行第三列 $2×0+(-1)×(-1)=1$，依此类推。

  5. $a=1$，$b=0$，$c=1$
    单位矩阵对角线为1，其余为0。

二、计算题

  1. $(A-B)^T = \left[ \begin{array}{cc}4 & -2 \ 2 & 0 \ 5 & -1 \end{array} \right]$
    $A-B = \left[ \begin{array}{ccc}4 & 2 & 5 \ -2 & 0 & -1 \end{array} \right]$，转置后为3行2列。

  2. $AB = \left[ \begin{array}{ccc}5 & -2 & 1 \ -2 & 1 & 0 \ -3 & 1 & -1 \end{array} \right]$，$BA = \left[ \begin{array}{cc}5 & -2 \ -1 & 0 \end{array} \right]$
    （AB同上题。BA为2×2矩阵，第一行第一列 $2×2+(-1)×(-1)+0×(-1)=5$，第一行第二列 $2×(-1)+(-1)×0+0×1=-2$，第二行第一列 $(-1)×2+0×(-1)+(-1)×(-1)=-1$，第二行第二列 $(-1)×(-1)+0×0+(-1)×1=0$。）

  3. $A^T = \left[ \begin{array}{cc}1 & -1 \ 1 & 0 \end{array} \right]$，$A^{-1} = \left[ \begin{array}{cc}0 & -1 \ 1 & 1 \end{array} \right]$
    $\det A = 1×0 - 1×(-1)=1$，逆矩阵为 $\frac{1}{1}\left[ \begin{array}{cc}0 & -1 \ 1 & 1 \end{array} \right]$。

  4. $A^{-1} = \left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \ 0 & \frac{1}{2} & 0 \ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{array} \right]$
    对角矩阵的逆矩阵为对角元取倒数。

  5. 杨辉三角前9行： 

第1行: 1
第2行: 1 1
第3行: 1 2 1
第4行: 1 3 3 1
第5行: 1 4 6 4 1
第6行: 1 5 10 10 5 1
第7行: 1 6 15 20 15 6 1
第8行: 1 7 21 35 35 21 7 1
第9行: 1 8 28 56 70 56 28 8 1

递推公式（用二维矩阵表示）：
$C[n][k] = C[n-1][k-1] + C[n-1][k]$，其中 $C[n][0]=C[n][n]=1$。

Day08 答案与解析

一、N进制转十进制

  • $1101_2 = 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 8+4+0+1 = \mathbf{13}$
  • $110101.101_2 = 1×32+1×16+0×8+1×4+0×2+1×1 + 1×0.5+0×0.25+1×0.125 = 32+16+4+1+0.5+0.125 = \mathbf{53.625}$
  • $1023_4 = 1×4^3 + 0×4^2 + 2×4^1 + 3×4^0 = 64+0+8+3 = \mathbf{75}$
  • $1AF_{16} = 1×16^2 + 10×16^1 + 15×16^0 = 256+160+15 = \mathbf{431}$
  • $1001_8 = 1×8^3 + 0×8^2 + 0×8^1 + 1×8^0 = 512+0+0+1 = \mathbf{513}$

二、二进制与十六进制互转

  • $1011011101_2 = 0010\ 1101\ 1101_2 = \mathbf{2DD_{16}}$
  • $1110001111.101001_2 = 0011\ 1000\ 1111 . 1010\ 0100_2 = \mathbf{38F.A4_{16}}$
  • $BCDE_{16} = 1011\ 1100\ 1101\ 1110_2 = \mathbf{1011110011011110_2}$
  • $(-AF01.4D)_{16} = -\ (1010\ 1111\ 0000\ 0001 . 0100\ 1101)_2 = \mathbf{-1010111100000001.01001101_2}$

三、十进制转二进制（以29.75为例）

整数部分 29 用短除法：
$$ \begin{array}{c|c} 2 & 29 \ \hline 2 & 14 \cdots 余 1 \ 2 & 7 \cdots 余 0 \ 2 & 3 \cdots 余 1 \ 2 & 1 \cdots 余 1 \ 0 & \cdots 余 1 \end{array} $$ 从下往上读，29 = 11101_2。

小数部分 0.75 用乘2取整法：
0.75 × 2 = 1.5 → 取整 1，剩余 0.5
0.5 × 2 = 1.0 → 取整 1，剩余 0
所以 0.75 = 0.11_2。

因此 29.75 = 11101.11_2。

Day09 答案与解析

一、计算题

  • $C_8^3 = \frac{8×7×6}{3×2×1} = \mathbf{56}$
  • $A_8^3 = 8×7×6 = \mathbf{336}$
  • $C_{10}^5 = \frac{10×9×8×7×6}{5×4×3×2×1} = \mathbf{252}$
  • $A_{10}^5 = 10×9×8×7×6 = \mathbf{30240}$
  • $C_7^5 = C_7^2 = \frac{7×6}{2} = \mathbf{21}$
  • $A_7^5 = 7×6×5×4×3 = \mathbf{2520}$

二、填空题

  1. 20
    分步乘法：$4 × 5 = 20$。

  2. 60
    分步乘法：$4 × 5 × 3 = 60$。

  3. 81
    每个格子3种选择，共4格：$3^4 = 81$。

  4. 6
    $2^5 = 32 < 55$，$2^6 = 64 > 55$，所以至少需要6个格子。

  5. 24
    4个不同小球放入4个不同格子的全排列：$4! = 24$。

  6. 4950
    从100个号码中选2个的组合数：$C_{100}^2 = \frac{100×99}{2} = 4950$。

三、计算题

  1. 3600种
    方法一（间接法）：7人全排列 $7! = 5040$。甲乙相邻（捆绑法）有 $6!×2! = 1440$ 种。
    不相邻：$5040 - 1440 = 3600$。
    方法二（插空法）：先排其余5人 $5! = 120$，产生6个空位，选2个给甲乙排列 $A_6^2 = 30$，共 $120×30 = 3600$。

  2. 720种
    甲乙必须相邻且甲在乙右边，把甲乙看作一个整体（顺序固定），与其余5人共6个元素全排列：$6! = 720$。

  3. 84种
    隔板法：10个名额排成一排，中间有9个空隙，插入6块隔板分成7份（每班至少1个）：$C_9^6 = C_9^3 = 84$。

  4. 72种
    老师不能站两端，所以老师只能站在中间3个位置之一（3种选法）。
    其余4名同学全排列：$4! = 24$。
    共 $3 × 24 = 72$ 种。

  5. 20种
    先选出哪两个球编号与盒子相同：$C_5^2 = 10$ 种。
    剩下3个球必须全部放错，即3个元素的错排数 $D_3 = 2$（如(2,3,1)和(3,1,2)）。
    共 $10 × 2 = 20$ 种。

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