传递闭包

Floyd算法

定义概览

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。

Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N^3)，空间复杂度为O(N^2)。

算法描述

1) 算法思想原理：

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。

从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2) 算法描述：

a. 从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　

b. 对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

从动态规划角度来理解 Floyd

我们从动态规划的角度考虑，解动态规划题目的重点就是合理的定义状态，划分阶段，我们定义 f[k][i][j] 为经过前k的节点，从i到j所能得到的最短路径，f[k][i][j]可以从f[k-1][i][j]转移过来，即不经过第k个节点，也可以从f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j]转移过来，即经过第k个节点。

观察一下这个状态的定义，满足不满足最优子结构和无后效性原则。

最优子结构

图结构中一个显而易见的定理：

最短路径的子路径仍然是最短路径, 这个定理显而易见，比如一条从a到e的最短路a->b->c->d->e 那么 a->b->c 一定是a到c的最短路c->d->e一定是c到e的最短路，反过来，如果说一条最短路必须要经过点k，那么i->k的最短路加上k->j的最短路一定是i->j 经过k的最短路，因此，最优子结构可以保证。

无后效性

状态f[k][i][j]由f[k-1][i][j]，f[k-1][i,k] 以及f[k-1][k][j]转移过来，很容易可以看出，f[k] 的状态完全由f[k-1]转移过来，只要我们把k放倒最外层循环中，就能保证无后效性。

满足以上两个要求，我们即证明了Floyd算法是正确的。

我们最后得出一个状态转移方程：f[k][i][j] = min(f[k-1][i][k],f[k-1][i][k],f[k-1][k][j]) ，可以观察到，这个三维的状态转移方程可以使用滚动数组进行优化。

K 为什么要放在最外层

采用动态规划思想，f[k][i][j] 表示 i 和 j 之间可以通过编号为 1…k 的节点的最短路径。

f[0][i][j] 初值为原图的邻接矩阵。

f[k][i][j]则可以从f[k-1][i][j]转移来，表示 i 到 j 不经过 k 这个节点。

也可以 f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j] 从转移过来，表示经过 k 这个点。

意思即 f[k][i][j]=min(f[k-1][i][j], f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j])

然后你就会发现 f 最外层一维空间可以省略，因为 f[k] 只与 f[k-1] 有关。

虽然这个算法非常简单，但也需要找点时间理解这个算法，就不会再有这种问题啦。

Floyd算法的本质是DP，而k是DP的阶段，因此要写最外面。

想象一个图，讨论的是要从1点到达3点，是直接走还是经过中间点2，从而确定两点之间的最短路径。

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