6005.T4-[NOIP2025] 树的价值(tree)

# P14637 [NOIP2025] 树的价值

## 题目描述

给定一棵 $n$ 个结点的有根树，其中结点 $1$ 为根，结点 $i$ ($2 \le i \le n$) 的父亲结点为结点 $p_i$。

对于 $1 \le i \le n$，定义结点 $i$ 的**深度** $d_i$ 为结点 1 到结点 $i$ 的简单路径的**边数**，也就是说，$d_1 = 0$，$d_i = d_{p_i} + 1$ ($2 \le i \le n$)。定义有根树的**高度** $h$ 为所有结点的**深度**的**最大值**，即 $h = \max_{i=1}^{n} d_i$。

给定高度的上界 $m$。在本题中，给定的有根树的高度不超过 $m$。

你需要给每个结点设置一个**非负整数**作为它的**权值**。对于 $1 \le i \le n$，若结点 $i$ 的权值为 $a_i$，令 $S_i$ 表示结点 $i$ 的**子树**中结点权值构成的集合。对于每一种权值设置方案，定义树的**价值**为 $\sum_{i=1}^{n} \mathrm{mex}(S_i)$，其中 $\mathrm{mex}(S)$ 表示**不在**集合 $S$ 中的**最小非负整数**。例如，在下图中，若设置 $a_1 = 3$，$a_2 = 2$，$a_3 = a_4 = 0$，$a_5 = 1$，则 $S_1 = \{0,1,2,3\}$，$S_2 = \{0,1,2\}$，$S_3 = \{0\}$，$S_4 = \{0\}$，$S_5 = \{1\}$，树的价值为 $4 + 3 + 1 + 1 + 0 = 9$。

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你需要求出，在所有权值设置方案中，树的价值的最大值。

## 输入格式

本题包含多组测试数据。

输入的第一行包含一个正整数 $t$，表示测试数据组数。

接下来依次输入每组测试数据，对于每组测试数据：
- 第一行包含两个正整数 $n, m$，分别表示结点数量与高度的上界。
- 第二行包含 $n - 1$ 个正整数 $p_2, p_3, \ldots, p_n$，分别表示每个结点的父亲结点。

## 输出格式

对于每组测试数据，输出一行一个非负整数，表示树的价值的最大值。

## 输入输出样例 #1

### 输入 #1

```
2
5 2
1 1 2 2
7 2
1 1 2 2 2 3
```

### 输出 #1

```
9
13
```

## 说明/提示

### 【样例 1 解释】

该样例共包含两组测试数据。

对于第一组测试数据，可以设置 $a_1 = 3$，$a_2 = 2$，$a_3 = a_4 = 0$，$a_5 = 1$，则树的价值为 $4 + 3 + 1 + 1 + 0 = 9$。

对于第二组测试数据，可以设置 $a_1 = 4$，$a_2 = 3$，$a_4 = 2$，$a_3 = a_6 = 1$，$a_5 = a_7 = 0$，则树的价值为 $5 + 4 + 2 + 0 + 1 + 0 + 1 = 13$。

### 【样例 2】

见选手目录下的 `tree/tree2.in` 与 `tree/tree2.ans`。

该样例满足测试点 $3,4$ 的约束条件。

### 【样例 3】

见选手目录下的 `tree/tree3.in` 与 `tree/tree3.ans`。

该样例满足测试点 $7,8$ 的约束条件。

### 【样例 4】

见选手目录下的 `tree/tree4.in` 与 `tree/tree4.ans`。

该样例满足测试点 $13,14$ 的约束条件。

### 【样例 5】

见选手目录下的 `tree/tree5.in` 与 `tree/tree5.ans`。

该样例满足测试点 $18,19$ 的约束条件。

### 【数据范围】

对于所有测试数据，均有：

- $1 \le t \le 5$；
- $2 \le n \le 8,000$，$1 \le m \le \min(n - 1, 800)$；
- 对于所有 $2 \le i \le n$，均有 $1 \le p_i \le i - 1$；
- 给定的有根树的高度不超过 $m$。

::cute-table{tuack}

| 测试点编号 | $n \le$ | $m \le$ |
|:----------:|:-------:|:-------:|
| $1,2$      | $7$     | $n-1$   |
| $3,4$      | $13$    | ^       |
| $5,6$      | $18$    | ^       |
| $7,8$      | $40$    | ^       |
| $9,10$     | $120$   | ^       |
| $11,12$    | $360$   | ^       |
| $13,14$    | $4{,}000$ | $2$    |
| $15\sim 17$| ^       | $10$    |
| $18,19$    | ^       | $50$    |
| $20\sim 25$| $8{,}000$ | $800$  |